|sin (z) |^2 < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Kay88 |
Hallo, liebe Mathematiker!
Ich benötigen Eure Hilfe zu einer Aufgabe:
Zeigen Sie, dass |sin [mm] z|^{2}=(sin(Re(z)))^{2} [/mm] + [mm] (sinh(Im(z)))^{2} [/mm] für alle z [mm]\varepsilon \IC[/mm], wobei Re Realteil und Im Imaginärteil, jeweils von z bedeutet.
Ich habe schon versucht, sin z in die Form x + iy umzuformen, um dann mit der Konjugation arbeiten zu können, bin aber am Versuch gescheitert.
Kann mir viellicht jemand einen Tipp geben, wie ich umzuformen habe? Dafür wäre ich sehr dankbar...
Ich habe diese Aufgabe in kein weiteres Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Sa 08.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, liebe Mathematiker!
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> Ich benötigen Eure Hilfe zu einer Aufgabe:
> Zeigen Sie, dass |sin [mm]z|^{2}=(sin(Re(z)))^{2}[/mm] +
> [mm](sinh(Im(z)))^{2}[/mm] für alle z [mm]\varepsilon \IC[/mm], wobei Re
> Realteil und Im Imaginärteil, jeweils von z bedeutet.
> Ich habe schon versucht, sin z in die Form x + iy
> umzuformen, um dann mit der Konjugation arbeiten zu können,
> bin aber am Versuch gescheitert.
Ich sehe zwei Wege, das zu zeigen:
a) Benutze die Identitäten [mm]\sin(z) = \bruch{1}{2i}\left(\mathrm{e}^{iz} - \mathrm{e}^{-iz})[/mm] und [mm]\sinh(z) = \bruch{1}{2}\left(\mathrm{e}^{z} - \mathrm{e}^{-z})[/mm], die für [mm]z\in\IC[/mm] gelten.
b) Schreibe [mm]z=x+iy[/mm], wende das Additionstheorem des Sinus and und benutze [mm]\sin(iy) = i\sinh y[/mm] und [mm]\cos(iy)= \cosh y[/mm]. Beachte, dass [mm]\sin^2+\cos2 = 1[/mm] und [mm]\cosh^2-\sinh^2=1[/mm]!
Viele Grüße
Rainer
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